Ряд вида
a0 +
a1z +
a2z2 +... +
anzn +...,
где коэффициенты
a0,
a1,
a2,..., an,... - комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного
z. Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг
D = {
z: |
z|
< R}
с центром в точке
z = 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус
R - радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку
z = 0 (в этом случае
R = 0; пример:
) или совпадать со всей комплексной плоскостью (
R = ∞; пример:
). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши - Адамара
.
Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |
z|
= R) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры:
,
R = 1,
ряд расходится в каждой точке окружности |z|=1;
, R = 1,
ряд абсолютно сходится во всех точках окружности |z|=1. В любой внешней точке круга сходимости (l
zl >
R) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р.
является аналитической функцией (См.
Аналитические функции)
; производные любого порядка функции
f (
z) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с
Тейлора рядом своей суммы.
А. А. Гончар.